ちょっとした行列の問題

次の3×3実行列の固有値を全て求めましょう。 ただし、α,βは0マルコフ連鎖) 1-α β 0 α 1-α-β β 0 α 1-β きつい計算をしたくない人向けのヒント 上に書かれてある行列をAとします。 (1)Av_1=v_1を満たすベクトルv_1を求めましょう。(Aは遷移確率行列なのでその…

【下級生向け】アレの覚え方

・合成関数の微分 {f(□)}'=f'(□)*□' □の中にいろいろ入れる。 例:{(x^2+1)^5}'=5(x^2+1)^4 *(x^2+1)' {sin(x^2+1)}'=cos(x^2+1)*(x^2+1)'・部分積分 ∫f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-∫f'(x)G(x)dx この式の右辺を見つめながら 「そのまま積分、マイナスすること、微分…

実積分へ応用する際の複素積分の経路

典型的なものに関しては自分で経路を決められるようにするとよいでしょう。 普通は以下の三通りで計算できます。・半円(実軸と半径無限大の円のIm z>0 or Im z ・パックマン(原点における半径無限小の円弧、実軸正の領域の往復(片方はIm z->+0,もう片方はIm …

線形時不変システムの固有関数としてのexp(jωt)

なぜフーリエ解析は有用なのでしょうか? (えっ有用なの?と思った人は交流回路とかコイルのインピーダンスjωLとかを思い出してください) 様々な答え方があるかと思いますが、一つの答えは「exp(jωt)が線形時不変システムの固有関数だから」というものだと思…

ちょっとした電磁気学の問題

高専2年生の頃、誘電体とか分極とかがよく分からなかった記憶があります。 その後、計算はできるようになりましたが、機械的に計算はできてもイメージはよく分かっていない、ちゃんと理解していない、という期間がそれなりにありました。 そんなことをふと思…

ちょっとした確率の問題

確率変数Xについて以下の式を示しましょう。 E[A]は確率変数にAについての期待値をとることを意味します。 E[exp(-X)]≧exp(-E[X]) ヒント:任意の実数xについてexp(x)≧1+xが成り立つ。

標本分散とχ^2 分布の関係を簡単な線形代数で導く―行列と二次形式―

ちょっと進んだ高専生のための~シリーズ第三弾です。 統計がメインテーマかと思いきや、行列と二次形式の関係がメインテーマです。 要約 ・標本数*標本分散/母分散は自由度(標本数-1)のχ^2分布に従います。これは母分散の推定・検定をする上で重要な定理です…

熱力学における変数変換(ヤコビアンの変換)

ちょっと進んだ高専生のための熱力学における変数変換(ヤコビアンの変換)(長い) 要約 ・熱力学では偏微分がたくさんでてきます。 ・偏微分の独立変数を変えたいときが多々あります。 ・独立変数の変換をヤコビアンの変換を用いて機械的にやりましょう。 …

ちょっと進んだ高専生のためのレビ・チビタ記号

高専3年生以上を想定して、知っていると便利なことを書きたいと思います。 「ちょっと進んだ高専生のための」と書いてあるように、ちょっと進んだ内容です。 なお、時間短縮のため数式の見やすさについては雑です。(なぜか特定の文字を添え字にするときにス…