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標本分散とχ^2 分布の関係を簡単な線形代数で導く―行列と二次形式―

ちょっと進んだ高専生のための~シリーズ第三弾です。

統計がメインテーマかと思いきや、行列と二次形式の関係がメインテーマです。

 

要約

・標本数*標本分散/母分散は自由度(標本数-1)のχ^2分布に従います。これは母分散の推定・検定をする上で重要な定理ですが、高専の教科書には証明が載っていません。

・標本分散が二次形式になっていることに注目し、線形代数的にアプローチをかけました。

・「二次形式→行列」という発想は重要です。他の例として、多変数関数の極値判定に対するヘッセ行列の導入があります。(なぜか高専の教科書には「ヘッセ行列」の影も形も見受けられないので、ぜひとも知っておきたいところです。)

 

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追記

(1)式にΣ_i (index iでのsum)が抜けていました。正しい式は以下の通りです。

nS^2/σ^2=Σ_i (X_i-ave(X))^2/σ^2