実積分へ応用する際の複素積分の経路

典型的なものに関しては自分で経路を決められるようにするとよいでしょう。
普通は以下の三通りで計算できます。

・半円(実軸と半径無限大の円のIm z>0 or Im z<0の半円の弧)(このパターンがたぶん一番典型的です。)
パックマン(原点における半径無限小の円弧、実軸正の領域の往復(片方はIm z->+0,もう片方はIm z->-0), 半径無限大の円弧)
・角度θの円弧(直線経路z=0→z=R, 半径Rの円弧上の経路z=R→z=Rexp(iθ), 直線経路z=Rexp(iθ)→z=0(R->∞))

経路の選び方のコツは以下の通り。
特異点は避けよう。
半径無限小の円弧状の経路で避けたりしましょう。

・半径無限大の円弧上の積分が0になることを示すときは積分の絶対値<=◯◯→0(R->∞)を示そう。
実数の変数tに対して
|∫f(z)dz|<=∫|f(z(t))|*|dz/dt||dt|が成り立つことを使うと良いでしょう。
その際、0<=θ<=π/2に対しsinθ>=(2/π)*θが成り立つことを使うと良い場面もあります。

・角度θの円弧のケースに関しては、2つの直線経路の積分がそれぞれ「求めたい実積分*複素数」という形になるようにθを決めましょう。
例えば∫dx/(x^3+1)ではf(z)=1/(z^3+1), θ=2π/3

・多価性に気を付けよう。特にパックマン
実軸正の領域の往復では、片方はarg z=0なのに対しもう片方はarg z=2πとなり、この違いによって実積分を「生み出し」ます。


どう頑張っても無理だった場合は素直に演習書を参照しましょう。
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