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ちょっとした行列の問題

次の3×3実行列の固有値を全て求めましょう。
ただし、α,βは0<α<1, 0<β<1, 0<1-α-β<1を満たす実数とします。(この行列は遷移確率行列となります。cf. 3状態マルコフ連鎖)

1-α β 0
α 1-α-β β
0 α 1-β


きつい計算をしたくない人向けのヒント
上に書かれてある行列をAとします。
(1)Av_1=v_1を満たすベクトルv_1を求めましょう。(Aは遷移確率行列なのでそのようなベクトルが存在します。)
(2)v_2=(1,0,-1)^T (T:転値) v_3=(1,-1,0)^Tとします。Av_2, Av_3をそれぞれv_1,v_2,v_3の線形結合で表しましょう。
(3)P=(v_1,v_2,v_3)とおき、B=P^(-1)APを具体的に求めましょう。(P^(-1):Pの逆行列)
(4)Bの固有値を全て求めましょう。また、Bの固有値とAの固有値が一致することを示しましょう。

以上のような解き方をすると、既知の固有ベクトルの情報を除くことで3×3行列の固有値問題を2×2行列の固有値問題に変えることができます。

追加の問:どのような発想でv_2,v_3を上のように定義したか考えましょう。なんとなくで良いです。
ヒントのヒント:任意の3次元ベクトルpに対しΣ_i (Ap)_i=Σ_i p_i (Aによって遷移してもベクトルの各成分の和(確率の和に相当)が不変)